三极管第四题：共射极小信号增益

这题开始真正进入“直流算完 → 交流小信号”。重点不是算数，而是看到电路后知道公式该怎么走。

前面已经用分压偏置完成了直流 Q 点分析。现在不重新追每一个偏置小数，而是把 Q 点当作交流分析的起点，研究一个带输入源内阻、输出负载和发射极旁路电容的共射极放大器。

1. 已知条件与电路图

沿用上一题的电路参数：

$$ I_E\approx1.30\,\mathrm{mA}, \quad R_C=2\,\mathrm{k\Omega}, \quad R_L=10\,\mathrm{k\Omega} $$
$$ R_1=47\,\mathrm{k\Omega}, \quad R_2=10\,\mathrm{k\Omega}, \quad R_s=1\,\mathrm{k\Omega}, \quad \beta=100 $$

发射极电阻 \(R_E\) 上并联了足够大的旁路电容 \(C_E\)，输出通过耦合电容接到负载 \(R_L\)。

共射极原电路与交流等效电路
共射极原电路与交流等效电路

图中左边是实际电路，右边是中频交流等效电路。之后的每一步，都应该能在右侧图上找到对应的元件或节点。

2. 第一步：先判断现在分析的是 DC 还是 AC

Q 点已经求完，所以现在进入：

$$ \boxed{\text{交流小信号分析}} $$

交流分析的第一动作不是套增益公式，而是先把元件换成交流等效：

2.1 直流电源在交流中接地

理想 \(V_{CC}\) 没有交流变化，因此小信号电路中把它视为交流地：

$$ \boxed{V_{CC}\rightarrow\text{交流地}} $$

所以原来接到 \(V_{CC}\) 的 \(R_C\)、\(R_1\)，在交流图里都相当于接到地。

2.2 耦合电容在中频近似短路

输入、输出耦合电容的作用是隔开不同的直流工作点，同时让交流信号通过。中频下可以近似为短路。

2.3 发射极旁路电容在中频近似短路

由于 \(C_E\) 足够大：

$$ \boxed{C_E\rightarrow\text{短路}} $$

因此发射极对于交流来说近似接地：

$$ \boxed{R_E\text{ 仍参与 DC 偏置，但被 }C_E\text{ 旁路，不主导中频 AC 增益}} $$

这是本题的第一个判断点。不能因为交流图中暂时不使用 \(R_E\)，就把它从原电路或直流分析里删除。

3. 第二步：由 Q 点得到小信号参数

看到 BJT 小信号题，直流 Q 点算完后，先找发射极静态电流 \(I_E\)：

$$ I_E\rightarrow r_e\rightarrow r_\pi $$

3.1 发射结小信号电阻

常用近似：

$$ \boxed{r_e\approx\frac{26\,\mathrm{mV}}{I_E}} $$

本题：

$$ r_e\approx\frac{26\,\mathrm{mV}}{1.30\,\mathrm{mA}} \approx20\,\Omega $$

所以：

$$ \boxed{r_e\approx20\,\Omega} $$

这里的 \(r_e\) 不是直流电路中的一只实体电阻，而是三极管在 Q 点附近对小幅交流变化表现出来的动态电阻。

3.2 基极输入小信号电阻

在本题采用的简化模型中：

$$ \boxed{r_\pi\approx\beta r_e} $$

因此：

$$ r_\pi\approx100\times20\,\Omega \approx2.0\,\mathrm{k\Omega} $$
$$ \boxed{r_\pi\approx2\,\mathrm{k\Omega}} $$

不要把 \(r_e\) 和 \(r_\pi\) 混在一起：\(r_e\) 更接近发射结本身的小信号量，\(r_\pi\) 是从基极看进去的输入小信号电阻。当前先记住：

$$ \boxed{I_E\rightarrow r_e\rightarrow r_\pi} $$

4. 第三步：集电极真正承受的交流负载

直流和交流对 \(R_L\) 的看法不同。

  • 直流时，输出耦合电容隔开了负载，\(R_L\) 通常不进入 Q 点计算；
  • 中频交流时，耦合电容近似短路，\(R_L\) 会直接出现在集电极的交流回路中。

因此，集电极看到的有效交流负载是：

$$ \boxed{R_C'=R_C\parallel R_L} $$

代入：

$$ R_C'=2\,\mathrm{k\Omega}\parallel10\,\mathrm{k\Omega} $$
$$ R_C'=\frac{2\times10}{2+10}\,\mathrm{k\Omega} \approx1.67\,\mathrm{k\Omega} $$
$$ \boxed{R_C'\approx1.67\,\mathrm{k\Omega}} $$

所以看到负载时，不要直接把 \(R_C\) 塞进增益公式，先问：输出耦合电容在当前频率下是不是近似短路？ 如果是，就要把 \(R_L\) 并进来。

5. 第四步：判断发射极电阻是否被旁路

当前存在足够大的 \(C_E\)，因此交流中：

$$ C_E\rightarrow\text{短路} \Rightarrow R_E\text{ 被交流旁路} $$

于是共射极中频电压增益的近似式为：

$$ \boxed{A_v\approx-\frac{R_C'}{r_e}} $$

代入：

$$ A_v\approx-\frac{1.67\,\mathrm{k\Omega}}{20\,\Omega} \approx-83 $$
$$ \boxed{A_v\approx-83} $$

重点不是记住数字 83，而是先完成判断：

有 CE 且中频
    ↓
RE 被交流旁路
    ↓
增益分母主要是 re

5.1 负号从哪里来

共射极的反相链路是：

$$ v_b\uparrow \Rightarrow v_{be}\uparrow \Rightarrow i_c\uparrow $$

于是集电极电阻上的压降增大：

$$ v_{RC}=i_cR_C'\uparrow $$

而集电极电压是电源减去这部分压降：

$$ v_c=V_{CC}-i_cR_C'\downarrow $$

所以：

$$ \boxed{\text{输入上升，输出下降；共射极约反相 }180^\circ} $$

负号表示相位反转，不表示输出“功率为负”或电压大小是负值。

6. 第五步：计算放大器输入电阻

从输入节点向基极方向看，有三条交流通路：

输入节点
  ├── R1 → 交流地
  ├── R2 → 地
  └── rπ → 三极管小信号模型

因此：

$$ \boxed{R_i=R_1\parallel R_2\parallel r_\pi} $$

代入：

$$ R_i=47\,\mathrm{k\Omega}\parallel10\,\mathrm{k\Omega} \parallel2\,\mathrm{k\Omega} $$

先算分压网络：

$$ 47\,\mathrm{k\Omega}\parallel10\,\mathrm{k\Omega} \approx8.25\,\mathrm{k\Omega} $$

再与 \(2\,\mathrm{k\Omega}\) 并联：

$$ R_i\approx1.6\,\mathrm{k\Omega} $$
$$ \boxed{R_i\approx1.6\,\mathrm{k\Omega}} $$

这一步的物理含义是：信号源并不是只看到三极管的 \(r_\pi\)，还同时看到分压偏置电阻到交流地的两条通路。

7. 第六步：考虑信号源内阻

题目给出信号源电压 \(v_s=10\,\mathrm{mV}\)，并不代表放大器基极真正得到 \(10\,\mathrm{mV}\)。信号源内阻 \(R_s\) 和放大器输入电阻 \(R_i\) 构成分压：

vs ─── Rs ─── Ri ─── 地
                ↑
               vi

因此真正进入放大器的输入电压是：

$$ \boxed{v_i=v_s\frac{R_i}{R_s+R_i}} $$

代入 \(R_s=1\,\mathrm{k\Omega}\)、\(R_i\approx1.6\,\mathrm{k\Omega}\)：

$$ v_i\approx10\,\mathrm{mV} \times\frac{1.6}{1.0+1.6} $$
$$ \boxed{v_i\approx6.2\,\mathrm{mV}} $$

必须区分：

符号 含义 本题数量级
\(v_s\) 信号源自身产生的电压 \(10\,\mathrm{mV}\)
\(v_i\) 真正加到放大器输入端的电压 约 \(6.2\,\mathrm{mV}\)
\(v_o\) 放大器输出端电压 约 \(-0.51\,\mathrm V\)

8. 第七步：求输出电压和总增益

放大器自身的电压增益定义为：

$$ A_v=\frac{v_o}{v_i} $$

所以：

$$ v_o=A_vv_i $$

代入：

$$ v_o\approx-83\times6.2\,\mathrm{mV} \approx-0.51\,\mathrm V $$
$$ \boxed{v_o\approx-0.51\,\mathrm V} $$

这里的负号仍然只表示反相。

如果题目问的是从信号源到输出的总增益：

$$ A_{vs}=\frac{v_o}{v_s} $$

可以拆成两段：

$$ \boxed{ A_{vs}=A_v\frac{R_i}{R_s+R_i} } $$

本题：

$$ A_{vs}\approx-83\times\frac{1.6}{2.6} \approx-51 $$

因此：

$$ \boxed{A_{vs}\approx-51} $$

这就是：

放大器自身增益 × 输入分压损失。

8.1 用实测波形直接读出电压增益

如果示波器或仿真读到输入、输出的交流电压，例如：

$$ v_i\approx5\,\mathrm{mV}, \qquad v_o\approx-0.5\,\mathrm{V} $$

那么可以直接由定义验证增益：

$$ A_v=\frac{v_o}{v_i} =\frac{-0.5}{0.005} \approx-100 $$

因此：

$$ \boxed{A_v=\frac{\text{输出交流电压}}{\text{输入交流电压}}} $$

其中：

  • \(|A_v|\) 表示电压放大了多少倍；
  • 正负号表示输入、输出的相位关系；
  • 共射极通常 \(A_v<0\)，因为输出相对输入反相。

这个读数不一定和前面用近似参数算出的 \(-83\) 完全相同。实际仿真还会受到晶体管模型、工作频率、负载和测量位置的影响；重要的是先确认“输出除以输入”的定义和反相关系。

把旁路电容的影响再压缩一次：

$$ \text{有 }C_E \Rightarrow R_E\text{ 被交流旁路} \Rightarrow \text{分母较小} \Rightarrow |A_v|\text{ 较大} $$
$$ \text{无 }C_E \Rightarrow R_E\text{ 进入交流回路} \Rightarrow \text{分母变大} \Rightarrow |A_v|\text{ 较小} $$

所以可以记成一句话：

$$ \boxed{R_E\text{ 让交流增益下降，}C_E\text{ 把增益拉回来}} $$

9. 第八步：输出电阻

基础小信号题通常忽略 Early 效应，把晶体管的输出电阻看作很大。因此从放大器自身输出端看进去，主要看到集电极电阻：

$$ \boxed{R_o\approx R_C} $$

本题：

$$ \boxed{R_o\approx2\,\mathrm{k\Omega}} $$

这里问的是放大器自身输出电阻，不是把外部负载并入之后的 \(R_C'\)。负载会改变增益，但在这个基础模型里不把它当成放大器内部输出电阻的一部分。

10. 把整题压成一条流程

看到“共射极 + 分压偏置 + \(C_E\) + \(R_L\) + \(R_s\)”，脑子里按下面顺序走：

$$ \boxed{\text{先用 DC 求 Q 点}} $$
$$ \downarrow $$
$$ \boxed{I_E\rightarrow r_e\rightarrow r_\pi} $$
$$ \downarrow $$
$$ \boxed{C_E\text{ 短路}\Rightarrow R_E\text{ 交流不起主要作用}} $$
$$ \downarrow $$
$$ \boxed{R_C'=R_C\parallel R_L} $$
$$ \downarrow $$
$$ \boxed{A_v=-\frac{R_C'}{r_e}} $$
$$ \downarrow $$
$$ \boxed{R_i=R_1\parallel R_2\parallel r_\pi} $$
$$ \downarrow $$
$$ \boxed{v_i=v_s\frac{R_i}{R_s+R_i}} $$
$$ \downarrow $$
$$ \boxed{v_o=A_vv_i} $$
$$ \downarrow $$
$$ \boxed{R_o\approx R_C} $$

11. 如果拿掉旁路电容：答案是 B

现在回到题目最后的变化题：如果拿掉 \(C_E\)，其他参数不变，增益分母应该选 A 还是 B？

答案是：

$$ \boxed{\text{B：要把 }R_E\text{ 也考虑进去}} $$

因为没有 \(C_E\) 时，交流信号不能再绕过 \(R_E\)。基极电压上升会使发射极电流变化，进而使：

$$ v_b\uparrow \Rightarrow i_e\uparrow \Rightarrow v_e=i_eR_E\uparrow $$

真正控制三极管的是：

$$ v_{be}=v_b-v_e $$

因此：

$$ v_e\uparrow\Rightarrow v_{be}\text{ 的增量被削弱} $$

这就是交流负反馈。

11.1 未旁路时的近似增益

不再把 \(R_E\) 当作交流短路后的旁路部分，近似增益变为：

$$ \boxed{A_v\approx-\frac{R_C\parallel R_L}{r_e+R_E}} $$

用本题数量级：

$$ A_v\approx-\frac{1.67\,\mathrm{k\Omega}} {20\,\Omega+1\,\mathrm{k\Omega}} \approx-1.6 $$

更严格的写法是：

$$ \boxed{ A_v=-\frac{\beta(R_C\parallel R_L)} {r_{be}+(1+\beta)R_E} } $$

这里的重点仍然不是最后的 1.6，而是看到：\(R_E\) 进入交流分母后，增益显著下降。

11.2 有无旁路电容的对照

条件 交流中的 \(R_E\) 增益趋势 其他变化
有足够大的 \(C_E\) 被旁路 增益较高，约 \(-83\) 交流负反馈弱，输入电阻较低
没有 \(C_E\) 参与交流 增益较低，约 \(-1.6\) 线性、稳定性和输入电阻提高

所以 \(C_E\) 的设计思想可以压成一句话：

$$ \boxed{\text{直流保留 }R_E\text{ 稳定 Q 点，交流用 }C_E\text{ 旁路 }R_E\text{ 拉回增益}} $$

12. 本题最容易漏掉的检查

  1. 先确认工作频率：只有当 \(C_E\) 的容抗足够小，才能把它当短路；低频时不能机械套用。
  2. 先并负载再算增益：输出耦合电容在中频近似短路时，必须使用 \(R_C\parallel R_L\)。
  3. 分清 \(v_s\) 和 \(v_i\)：信号源内阻会吃掉一部分输入电压。
  4. 分清 \(A_v\) 和 \(A_{vs}\)：前者是放大器自身增益，后者包含输入分压损失。
  5. 检查输出摆幅：小信号公式假设波形仍在线性区；输入继续增大后，输出仍会撞到截止或饱和而削顶。
  6. 不要删除直流中的 \(R_E\)：它只是被交流旁路，仍然承担稳定 Q 点的任务。

13. 第 4 题过关标准

看到共射极小信号题，你应该能按顺序说出：

  1. Q 点先用 DC 求完；
  2. \(V_{CC}\) 在 AC 中接地；
  3. 中频下耦合电容和足够大的 \(C_E\) 近似短路；
  4. 用 \(I_E\) 算 \(r_e\)，再由 \(β\) 估算 \(r_\pi\)；
  5. 有负载就先算 \(R_C'=R_C\parallel R_L\)；
  6. \(C_E\) 旁路时用 \(A_v\approx-R_C'/r_e\)；
  7. 输入电阻是 \(R_1\parallel R_2\parallel r_\pi\)；
  8. 信号源电压还要经过 \(R_s\) 和 \(R_i\) 分压；
  9. 输出是 \(v_o=A_vv_i\)，负号表示反相；
  10. 拿掉 \(C_E\) 后，\(R_E\) 进入交流反馈，增益下降但线性和稳定性提高。

本题最终主线是：

$$ \boxed{ \text{DC 求 Q 点} \rightarrow I_E \rightarrow r_e \rightarrow R_C\parallel R_L \rightarrow A_v \rightarrow R_i \rightarrow v_i \rightarrow v_o } $$

前一题：三极管第三题：发射极电阻的直流负反馈

下一题：三极管第五题：射极跟随器（待续）

总笔记：三极管电路：偏置、Q 点与小信号放大